Модель Ричардсона

Источник: https://mirznanii.com/a/315126/m...

Полный текст PDF
Полный текст DOC

Начало статьи


Модель гонки вооружений Ричардсона

Министерство образования и науки Украины
Харьковский национальный университет радиоэлектроники
Кафедра ЕК
Курсовой проект
по дисциплине «Моделирование экономической динамики»
на тему: «Модель гонки вооружений Ричардсона»
Выполнил: Ст.гр.ЕКс-10-1 Коновалов А.С.
Проверила: Новожилова М.В.
Харьков 2010

Постановка задачи

Провести анализ следующих двух моделей гонки вооружения по Ричардсону. Результаты анализа одной модели подтвердить численными расчётами, построив графики x(t), y(t). Для каждой области фазового пространства, задав соответствующие начальные условия, выполнить, по крайней мере, один расчёт.

Первая модель:

 

Ответное наращивание

Износ

Недоверие

Синие:

1

0,8

0,1

Зеленые:

1

1

0,1

Вторая модель:

 

Ответное наращивание

Износ

Недоверие

Синие:

1

1,2

0,1

Зеленые:

1

1

0,1

Краткая теория

Модель гонки вооружений Ричардсона

Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны.

Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной страной ("зеленые").

В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на вооружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой.

Математически эта ситуация может быть смоделирована следующим образом. Пусть x(t) - расходы на вооружение "желтых" к моменту t ≥ 0, y(t) - то же, но "зеленых". Тогда простейшая модель гонки вооружений может быть сформулирована в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

{

dx / dt = ay ,

(1)

dy / dt = bx ,

где а и b - положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.

Модель (1) имеет очевидный недостаток: рост затрат на вооружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше скорость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем следующую систему уравнений:

{

dx / dt = ay - mx ,

(2)

dy / dt = bx - пу ,

где а, b, т, п - положительные константы.

Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существованию данного государства. Обозначим соответствующие коэффициенты претензии через r и s (r > 0 и s > 0). Если г<0 и s < 0, то их можно назвать коэффициентами доброй роли. Получаем следующую систему уравнений:

{

dx / dt = ay - тх + r ,

(3)

dy / dt = bx - ny + s ,

Решением системы (3) являются функции x(t) и y(t) , определяемые для данных начальных условий х0 , у0 (начальное состояние гонки вооружений).

Элементарный анализ модели. Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом.

Уровень затрат на вооружение должен быть постоянным и не зависеть от времени:

dx/dt = dy/dt = 0 (4)

т.е. желательно, чтобы система находилась в состоянии равновесия.

Условия равновесия для системы (18) записываются в следующем виде:

ау - тх + r = 0  (5) 
bx - ny + s — 0  (6)

Из (5) и (6) определим

у = (т/а)х - r/а  (7)

у = ( b / n )х+ s / n  (8)

и рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного уравнения (7) на фазовой плоскости (х, у) (рис.1).

Для всех точек прямой G имеем dx/dt = 0. Можно сказать, что первое уравнение системы (3) задает горизонтальную компоненту скорости движения точки в фазовой плоскости, а второе уравнение - вертикальную. Ясно, что если в некоторой точке фазовой плоскости dx/dt > 0, то x(t) возрастает и решение системы движется от этой точки вправо, а если dx/dt < 0, то влево. Аналогично, если dy/dt > 0 (< 0), то точка движется вверх (вниз).

[КОНЕЦ ЦИТАТЫ]